Was ist eine Teilmenge von V?
(-1)· v = – v. Wenn eine Teilmenge U eines Vektorraums V für sich genommen die Vektorraumaxiome erfüllt, bildet sie einen Unterraum oder Teilraum von V. Dies ist bereits dann der Fall, wenn sie hinsichtlich der Addition von Vektoren und Multiplikation mit Elementen des Körpers abgeschlossen ist.
Was sind Gründe für die Betrachtung von Unterstrukturen?
Die Gründe für die Betrachtung von Unterstrukturen sind vielfältig. Sie werden zum einen benötigt, um weitere algebraische Strukturen zu definieren. Ein prominentes Beispiel sind die so genannten Quotientenräume. Ein anderer Nutzen von Unterstrukturen ist es, bestimmte algebraische Zusammenhänge zu erkennen.
Was heißen die Elemente von V?
Die Elemente von V heißen Vektoren; die Elemente von K werden im Zusammenhang mit dem Vektorraum Skalare genannt. Definition: Sei K ein Körper. Eine Menge V heißt Vektorraum über K, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
Was ist eine linear unabhängige Menge von Vektoren?
0 = k1 · v1 + + km · vm . Eine Menge von Vektoren, die nicht linear abhängig ist, heißt linear unabhängig . Mit den Vektoren einer linear unabhängigen Menge lässt sich der Nullvektor nicht darstellen, außer wenn alle Koeffizienten gleich 0 sind.
Definition: Es sei ( V, + , · ) ein Vektorraum. Eine Teilmenge U ⊂ V; heißt ein Untervektorraum von V falls für alle v, w ∈ U und α ∈ ℝ gilt: 0 ∈ U. v, w ∈ U ⇒ v + w ∈ U. v ∈ U ⇒ α ⋅ v ∈ U .
Was ist eine Untergruppe?
Eine Untergruppe ist zum Beispiel eine Teilmenge einer Gruppe, die selbst wieder eine Gruppe ist. Genauso ist ein Teilkörper eine Teilmenge eines Körpers, welcher selbst wieder ein Körper ist. Die Gründe für die Betrachtung von Unterstrukturen sind vielfältig. Sie werden zum einen benötigt, um weitere algebraische Strukturen zu definieren.