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Was ist eine ungekrümmte Geometrie?
Die ungekrümmte oder Euklidische Geometrie wird erweitert, um gekrümmte Mannigfaltigkeiten mittels Methoden der nicht-euklidischen Geometrie zu beschreiben. Die Oberfläche einer Kugel ist eine zweidimensionale Fläche, die gekrümmt im dreidimensionalen Raum liegt.
Wie kann man die Krümmung mit Vorzeichen definieren?
Für ebene Kurven kann man die Krümmung mit Vorzeichen bezüglich einer Orientierung des Normalenbündels der Kurve definieren. Eine solche Orientierung ist gegeben durch ein stetiges Einheitsnormalenvektorfeld N → {displaystyle {vec {N}}} längs der Kurve.
Wie unterscheiden sich innere und äußere Krümmung?
Es wird unterschieden zwischen innerer und äußerer Krümmung: Die innere Krümmung lässt sich anhand der Geometrie im gekrümmten Raum selbst feststellen. Beispielsweise haben Dreiecke auf der Kugeloberfläche eine Innenwinkelsumme von mehr als 180°, im Gegensatz zu ebenen Dreiecken mit einer konstanten Winkelsumme von 180°.
Wie lässt sich die innere Krümmung feststellen?
Die innere Krümmung lässt sich anhand der Geometrie im gekrümmten Raum selbst feststellen. Beispielsweise haben Dreiecke auf der Kugeloberfläche eine Innenwinkelsumme von mehr als 180°, im Gegensatz zu ebenen Dreiecken mit einer konstanten Winkelsumme von 180°.
Was versteht man unter der Krümmung einer Kurve?
Unter der Krümmung einer ebenen Kurve versteht man in der Geometrie die Richtungsänderung beim Durchlaufen der Kurve. Die Krümmung einer Geraden ist überall gleich null, weil sich ihre Richtung nicht ändert. Ein Kreis(bogen) mit dem Radius r {displaystyle r} hat überall gleiche Krümmung, denn seine Richtung ändert sich überall gleich stark.
Wie werden Raum und Zeit zusammengefasst?
Raum und Zeit werden zunächst in der speziellen Relativitätstheorie, die die Gravitation noch nicht enthält, zu einer vierdimensionalen Raumzeit zusammengefasst, die gemäß der Minkowski-Metrik einen nicht gekrümmten („flachen“) Raum bildet.
Wie groß ist die innere Krümmung?
Die innere Krümmung kann positiv sein (wie auf einer Kugel) oder negativ (wie beim Kühlturm eines AKW, der ein Rotationshyperboloid darstellt). In einem negativ gekrümmten Raum ist die Innenwinkelsumme kleiner als 180°.
Was ist die gekrümmte Bahn?
Die gekrümmte Bahn (Geodät) ist die kürzeste Strecke, die der Körper innerhalb der gekrümmten Raumzeit zurücklegen kann. Das trifft auf die gesamte kosmische Mechanik zu. Auch auf die Bahn des Mondes um die Erde! Dieser Effekt ist bereits mit Atomuhren nachgewiesen worden. Eine Uhr wurde am Erdboden platziert, die andere auf einem hohen Berg.
Wie kann die äußere Krümmung festgestellt werden?
Die äußere Krümmung kann nur festgestellt werden, indem die Lage des Raums im umgebenden, höherdimensionalen Raum, die so genannte Einbettung, betrachtet wird. Eine Fläche mit äußerer, aber ohne innere Krümmung erhält man z. B., indem man ein Blatt Papier aufrollt, wellt oder sonst wie verbiegt, ohne dass man es zerreißt oder dehnt.
Was ist der Begriff Raumzeit?
Der Begriff Raumzeit wurde 1908 vom Mathematiker Hermann Minkowski (1864 – 1909) ersonnen, der eine neue Darstellung der Relativitätstheorie durch 4er-Vektoren erfand. Diese elegante Formulierung ist bis heute gebräuchlich. Eine witzige Anekdote ist, dass Minkowski Albert Einsteins Mathematiklehrer am Polytechnikum Zürich war.